Основная теория к контрольной на завтра:

Простая вероятность

\(P(a)=\frac{m}{n}\)
m - число благоприятных исходов
n - всё число исходов

Испытания Бернулли

Когда в каждом из n независимых испытаний возможны только два исхода: успех с вероятностью p и неудача с вероятностью 1-q.
n - число испытаний
m - необходимое число исходов
p - вероятность благоприятного исхода
q = 1 - p - вероятность неблагоприятного исхода

• Формула Бернулли

  \(P_n(m)=C_n^m*p^m*q^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}*p^m*q^{n-m}\)
  \(n \lt 50\) (вообще работает для всех случаев, просто при больших факториалах считать тяжко)

• Формула Пуассона

  \( P_n(m)\approx\frac{a^m*e^{-a}}{m!}, a=np \lt 10 \)
  \(p\to 0, n\to\infty\)

• Локальная формула Муавра-Лапласа

  \( P_n(m)\approx\frac{1}{\sqrt{npq}}*\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}} \)
  \(0.1\lt p\lt0.9\)

• Интегральная формула Муавра Дапласа

  \( P_n(k_1;k_2)=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx} \)
  \(x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}, x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}\)
  Вероятность, что исходов будет от \(k_1\) до \(k_2\).

• Наивероятнейшее число успехов в испытаниях Бернулли

  \(np-q\lt k_0\lt np+q\)

Формула полной вероятности

Если \(H_1, H_2, ..., H_n\) - полная группа (вероятность всех гипотез в сумме равна 1) и A - событие (которое может быть в нескольких гипотезах одновременно), то
\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(H_i)*P(A|H_i)}\)
\(P(H_i)\) - вероятность i-ой гипотезы
\(P(A|H_i)\) - вероятность события A, при усллвии, что гипотеза совершилась.

Формула Байеса (Переоценка полной вероятности)

Если событие A - наступило, тогда вероятность, что при этом совершилась гипотеза \(H_k\) равна:
\(P(H_k|A)=\frac{P(H_k)*P(A|H_k)}{P(A)}\)
Где:
\(P(H_k)\) - вероятность наступдения этой гипотезы
\(P(A|H_k)\) - вероятность наступления события A при условии, что гипотеза A совершилась
\(P(A)\) - полная вероятность события A.

Дискретная случайная величина

• Закон распределения

  Табличная зависимость, какая вероятность сооветствует каждому числу X.
  \(P\{X=x\}=p(x)\)

• Функция распределения

  Функция \(F(x)=P\{X\lt x\}\) - функция, которая даёт для числа \(x\) вероятность, что дискретная случайная величина будет строго меньше этого числа \(x\).

• Свойство нормировки

  \(\sum_{i=1}^{n}{p_i}=1\)

• Величины

  Математическое ожидание

  \(M(X)=\sum_{i=1}^{n}{x_ip_i}\) - то, чему в среднем будет равна ДСВ (с учётом вероятнотей)

  Дисперсия

  \(D(X)=M(X^2)-M^2(X)\)
  \(M(X^2)=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2p_i}\)

  Среднеквадратичное отклонение

  \(\sigma=\sqrt{D(X)}\) - значение, на которое в среднем будут отклоняться величины от мат. ожидания.

Непрерывная случайная величина

• Закон распределения

  Функиональная зависимость, какая вероятность сооветствует каждому числу X.
  \(P\{X=x\}=p(x)\)

• Функция распределения

  Функция \(F(x)=P\{X\lt x\}\) - функция, которая даёт для числа \(x\) вероятность, что непрерывная случайная величина будет строго меньше этого числа \(x\).

• Плотность распределения

  Равна производной от функции распределения \(f(x)=\frac{dF(x)}{dx}\).
  Нужна, чтоб получить вероятность попадания числа x в интервал \([x_1;x_2]\)
  \(P\{x_1\leq x_2\}=\int_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}=F(x_2)-F(x_1)\)

• Свойство нормировки

  \(\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)dx}=1\)

• Величины

  Математическое ожидание

  \(M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}\) - то, чему в среднем будет равна ДСВ (с учётом вероятнотей)

  Дисперсия

  \(D(X)=M(X^2)-M^2(X)\)
  \(M(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}{x^2f(x)idx}\)

  Среднеквадратичное отклонение

  \(\sigma=\sqrt{D(X)}\) - значение, на которое в среднем будут отклоняться величины от мат. ожидания.

Дополнение:

Не всегда обязательно брать интеграл в пределах \((-\infty;+\infty)\), если функция имеет значения, отличное от нуля, только на интервале \([x_1;x_2]\), то можно рассмотреть интеграл в этом пределе.