1-ая теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке она и ограничена.

2-ая теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то среди ее значений на этом отрезке имеется наименьшее и наибольшее значение.

1-ая теорема Больцано-Коши

Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри промежутка найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.

2-ая теорема Больцано-Коши

Если функция непрерывна на отрезке[a; b], то, принимая любые два значения на [a; b], функция принимает и всякое промежуточное значение.

Следствие

Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(с) = 0.

Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) непрерывная на отрезке [a;b] и дифференцируема на (a;b). f(a)=f(b). Тогда на (a;b) найдётся по крайней мере одна \(x_0\) для которой \(f\\'(x_0)=0\).

Теорема о конечных приращениях Лагранжа

Пусть функция y=f(x) непрерывная на отрезке [a;b] и дифференцируема на (a;b). Тогда на (a;b) найдётся по крайней мере одна \(x_0\), для которой \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f\\'(x_0)\)

Теорема Коши об отношении конечных приращений двух функций

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b]; дифференцируемы на интервале (a;b); \(g\\'(x)\neq 0\) на (a;b)тогда на этом интервале найдётся по крайней мере одна \(x_0\) для которой \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f\\'(x_0)}{g\\'(x_0)}\)

Теорема

Если функция f(x) непрерывная в \(x_0\) и \(f(x_0)\neq 0\), то существует некоторая окрестность \(U(x_0,\delta)\), в которйо функция имеет тот же знак, что и в \(x_0\).

Теорема о непрерывности сложной функции

Если функция \(\phi(x)\) непрерывная в \(x_0\), а функция f(u) непрерывная в \(u_0\), где \(u_0=\phi(x_0)\), то функция \(f(\phi(x))\) непрерывная в \(x_0\). т.е. суперпозиция непрерывных функций неперрывная в данной точке.

Теорема о непрерывности обратной функции

Если функция y = y(x) строго возрастает (строго убывает) на промежутке [a;b] и непрерывна в точке \(x_0 \in\) (a; b), то у нее существует обратная функция x = x(y), которая строго возрастает (строго убывает) на промежутке [p, q], где p = y(a), q = y(b) и непрерывна в точке y0 = y(x0).

Теорема

Любая элементарная функция непрерывная в любой точке её множества определения.

Теорема

Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то в этой точке она и непрерывная.

Теорема

Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема о признаке сходимости интеграла по Дирехле

Если

• Функция f(x) неперрывна и имеет ограниченную первообразную F(x) на [\(a;\infty\)]
• Функция g(x) непрерывна, дифференцируема и монотонно на [\(a;\infty\)]
• \(\lim_{x\to \infty}{g(x)}=0\)

Тогда интеграл \(\int_{a}^{\infty}{f(x)g(x)dx}\) сходится.

Теорема о признаке сходимости интеграла по Абелю

Если

• Функция f(x) неперрывна на [\(a;\infty\)] и сходится \(\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}\)
• Функция g(x) непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна на [\(a;\infty\)]

Тогда интеграл \(\int_{a}^{\infty}{f(x)g(x)dx}\) сходится.

Теорема

Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Теорема об эквивалентности бесконечно малых функций

Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из них. \[\lim_{x\to x_0}{\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\alpha(x)}}=\lim_{x\to x_0}{\frac{\alpha(x)-\beta(x)}{\beta(x)}}=0\]