Ряды

Эталонные ряды

  1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{aq^n}=\frac{a}{1-q}\), если \(|q|\lt 1\).
  2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}\) - сходится при \(p\gt1\)(док-во по интегральнео теореме Коши)

Знакоположительные ряды

Необходимое условие сходимости ряда

Если у ряда \( \sum\limits_{n=1}^\infty{u_n} \) предел \( \lim\limits_{n\to\infty}{u_n}\neq 0 \) - значит ряд расходится.

I Признак сравнения

Есть два ряда \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\) и \(\sum\limits_{n=1}^\infty{v_n}\), и ряд \(v_n\) - сходится.
Если \(\forall n: u_n \leq v_n\) - ряд \(u_n\) сходится, иначе расходится.

II Признак сравнения

Есть два ряда \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\) и \(\sum\limits_{n=1}^\infty{v_n}\), Пусть \(l=\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{u_n}{v_n}}\). Если \(l\in (0;\infty)\) - то ряды сходятся и расходятся одновременно.

III Признак сравнения

Есть два ряда \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\) и \(\sum\limits_{n=1}^\infty{v_n}\), ПУсть, начиная с некоторого места, т.е. \(n\geq m\) оказывается, что \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\leq\frac{v_{n+1}}{v_{n}}\)
Тогда из сходимости ряда V следует сходимость ряда U, а из расходимости ряда U следует расходимость ряда V.

Признак Даламбера

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\). Пусть \(l=\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{u_{n+1}}{u_n}}\).

  • Если \(l\lt 1\) - ряд сходится
  • Если \(l\gt 1\) - ря расходится
  • Если \(l= 1\) - принак не даёт ответа

Радикальный признак Коши

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\). Пусть \(l=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{u_n}}\).

  • Если \(l\lt 1\) - ряд сходится
  • Если \(l\gt 1\) - ря расходится
  • Если \(l= 1\) - принак не даёт ответа

Интегральный признак Коши

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\). Пусть \(l=\int\limits_{1}^{\infty}{u_x dx}\). Если интеграл сходится - то ряд сходится.
Оценка ряда Если интеграл сходится, то \(S_{n}-u_{1}\lt\int\limits_{1}^{\infty}{u_n dn}\lt S_{n}-u_{n}\)

Признак Раабе

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{u_n}\). Пусть \(l=\lim\limits_{n\to\infty}{n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})}\).

  • Если \(l\lt 1\) - ряд расходится
  • Если \(l\gt 1\) - ряд сходится
  • Если \(l= 1\) - принак не даёт ответа

Знакопеременные ряды

Условие сходимости

Пусть есть ряд \( \sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^n u_n} \). Если сходится закоположительный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|u_n|}\) - то исходный ряд сходится. Если не сходится, проверяем признак Лейбница:

  1. \(\lim\limits_{n\to\infty}{u_n}=0\)
  2. \(\forall n: u_{n}>u_{n+1}\)
Если хотя бы одно условие не выполняется - ряд расходится.
Если выполняются - ряд сходится условно.

Признак Абеля

Ряд вида \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_b*c_n}\).
Если

  • Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}{b_n*с_n}\) сходится
  • {\(c_n\)} - монотонная и ограниченная последовательность (\(|c_{n}|\leq K\)) для любого n
Тогда ряд сходится.

Признак Дирихле

Ряд вида \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_b*c_n}\).
Если

  • Частные суммы ряда \(\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}{b_n}\) ограничены
  • {\(c_n\)} - монотонная последовательность, стремящаяся к 0
Тогда ряд сходится.

Функциональные ряды

Область сходимости

Для функционального ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_{n}f(x)}\) область сходимости ищется следующим образом

  1. Найти \(l(x)\) по признаку Даламбера или Коши, взяв модуль ряда.
  2. Решить неравенство \(l(x)\lt 1\)
Решение неравенства - будет область абсолютной сходимости ряда.
Для полученного интервала необходимо проверить концы, подставив их вместо x, проверив, в какой из концевых точек сходится ряд.

Разложения в ряд

Формула Тейлора

\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)(x_0)(x-x_0)^n}}{n!}}\)


Критерий сходимости по Коши

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n}\) схожится, если Для любого N существует ε такой, что при N \(\gt\) n и любом p \(\gt\) 0, неравенство \(|S_{n+p}-S_{n}|=|u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{n+p}|\lt ε\) Чтоб расходился - поменять \(\lt\) на \(gt\)

Теорема

Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху числом M, то ряд сходится

Теорема о сходимости знакопеременного ряда<0 /b>

Знакопеременный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}{u_n}\) сходится, если сходится \(\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}{|u_n|}\) (Док-В по критерию Коши)

Теорема сходимости знакопеременного ряда

Для абсолютной сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n}\) необходимо и достаточно представить его в виде разноси двух знакоположительных рядов.

Теорема Мертсена

Ряд, полученный перемножегнием двух рядов сходится к произведению сумм перемноженных рядов, если один из них сходится абсолютно, а второй хотя бы условно.

Определенеи равномерной сходимости

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве {x} к сумме S(x), если последовательность {Sn(x)} его частичных сумм сходится равномерно на множестве {x} к предельной функции S(x).

Критерий равномерной сходимости по Коши

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\) равномерно сходится, если существует ε больше 0, такой, что \(\sum\limits_{n=k+1}^{k+p}{u_n}\lt ε\)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда

Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\) равномерно сходится в области D, если существует ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{v_n}\) такой, что \(\forall x\in D: |u_n(x)|\lt v_n\)

Прищнак равномерной сходимости Дини

Если все члены функционального ряда непрерывны и неотрицательны (или неположительны) на замкнутом ограниченном множестве {х} и если в каждой точке множества {х} этот ряд сходится и сумма его является непрерывной на множестве {х} функцией, то его сходимость является равномерной на множестве {x}.

Признак равномерной сходимости Дирихле-Абеля

Функциональный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)v_n(x)}\). обладает равномерной сходимостью, если

  • Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}\) обладает равномерной ограниченной последовательностью частичных сумм (\(S_n(x)\lt M\))
  • Функциональная последовательность \(\{v_n\}\) не возрастает в каждой точке x и равномерно на этом множестве сходится к 0

Теорема

Если функциональный ряд сходится на множестве D к S(x) и у всех членов этого ряда существует предел в точке \(x_0\), то сумма ряда S(x) имеет в этой точке предел, равный пределу частной суммы ряда в точке \(x_0\).

Теорема

Если ряд равномерно сходится на области D, то его сумма - функция непрерывная на области D.

Теорема о интегрировании

Если ряд из непрерывных функций

  • РАвномерно сходится на D к S(x)
  • Каждый член ряда - непрерывная функция на D
Ряд можно интегрировать почленно на D. Интеграл от ряда будет равен интегралу от итоговой суммы ряда.

Теорема о дифференцировании

Если

  • Каждая функция \(u_n(x)\) меет производную на D.
  • Ряд из этих производных сходится
Тогда сходится ряд из исходных фуункций и его можно почтенно дифференцировать на D, причём производаня от сумма ряда в точке x будет арвна сумме ряда от производных.

Когда можно дифференцировать ряд

Ряд можно почленно дифференцировать, если он сходится и его члены имеют непрерывные производные в некотором промежутке.

Теорема

Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости

Теорема

Сумма степенного ряда внутри промежуьтка сходимости - непрерывная функция.

Теорема о почленном интегрировании степенного ряда

Стененно ряд после почленного интегрирования на интервале [0;x], если x \(\lt\) R имеет тот же радиус сходимости.

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Стененно ряд после почленного дифференцирования имеет тот же радиус сходимости.
Дифференцировать можно сколько угодно раз.

Утверждение

Чтобы функция была разложима в ряд на (-R;R) надо чтоб она имела на интервале производные любого порядка

Утверждение

Функция может быть разложена в ряде единстенным образом.

Теорема

Чтоб ряд тейлора сходился к функции, по которой он был порстроен, необходимо и достаточно, тчо остаточный член стремился к 0.
Или
Все члены ряда Тейлора ограничены одной константой.

Оценка погрешности вычисления суммы ряда

  • Знакочередующиеся

    \(|R_n(x)|\lt |a_{n+1}x^{n+1}|\)

  • Для знакопостоянных

    \(|R_n(x)|=\frac{|f^{n+1}(c)|x^{n+1}}{(n+1)!},c\in D\)