Для функий \(f(x), g(x)\) скалярное произведение \((f,g)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\)
Для функии \(f(x)\) норма \(||f(x)||=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^{\pi}f^2\left(x\right)d}=\sqrt{(f,f)}\)
Две фунции ортогональны, если сх скалярное произведение равно 0.
Система функций ортонормирована, если скалярное произведение каждой функции на другую равно 0, а при произведении самой на себя 1.
\(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n\phi_n(x)}\), \(a_n=\frac{ \int\limits_{a}^{b}{f(x)\phi_n(x)dx} }{ ||\phi_n(x)|| }\)
\(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n\phi_n(x)}\), \(a_n=\frac{ \int\limits_{a}^{b}{f(x)\phi_n(x)dx} }{ ||\phi_n(x)|| }\)
\(f(x)\in L_2[a;b]\) и \(\sum\limits_{n=1}{\infty}{c_n\phi_n(x)}\) - ряд Ферье по ортогональной системе функций, тогда: \(\int_a^b{f^2(x)dx}\geq \sum\limits_{n=1}^{\infty}c^2_k||\phi_n||^2\), если знак '=', то это равенство Персеваля. Если оновыполняется - то ряд сходится в среднеквадратичном
Если ряд сходится равномерно, то и среднеквадратично тоже
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n*cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n*sin(\frac{n\pi
x}{l})}\),
\(a_0=\frac{(1,f)}{||1||^2}\),
\(a_n=\frac{(f,\cos{\frac{n\pi x}{l}})}{||\cos{\frac{n\pi x}{l}}||^2}\)
\(b_n=\frac{(f,\sin{\frac{n\pi x}{l}})}{||\sin{\frac{n\pi x}{l}}||^2}\)
\(a_0=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)dx}\)
\(a_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})}\)
\(b_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})}\)
Период функции, разложенной в ряд Фурье - \(2l\)
\(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})}\)
\(b_n=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{\pi}{f(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}}}\)
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})}\)
\(a_0=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{\pi}{f(x)}\)
\(a_n=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{\pi}{f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}}}\)
Если функция \(f(x) \in L_2[a;b]\) - кусочно гладкая на [-l;l], тогда триганометричсекий ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка и:
Если функция \(f(x) \in L_2[a;b]\) - кусочно гладкая и непрерываня на [-l;l], и f(-l)=f(l), тогда она сходится равномерно
Если функция \(f(x) \in L_2[a;b]\) - кусочно непрерввная на [-l;l], тогда ряд Фурье сходится в среднем квадратичном.
Еси функция определена на отрезке [a;b], тогда для разложения надо ввести замену
\(t=\frac{2\pi}{b-a}()x-\frac{a+b}{2}\), тогда можно будет разложить новую функцию g(t) на отрезке
\([\pi;\pi]\), а потом сделать обратную замену.
Если функция определена на [0;l] - можно искустченно продлить её на [-l;l] чётным или нечётным
образом.
Заменив синус и косинус по формулам
\(\cos{(nx)}=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}, \sin{(x)}=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2}\)
Получим комплексную форму
\(f(x)=\sum\limits_{n=\infty}^{\infty}{c_ne^{\frac{in\pi x}{l}}}\),
\(c_n=\frac{1}{2l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)e^{\frac{-in\pi x}{l}}dx}\)
Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке, то она сходится на нём.
Разложение функции на всей числовой оси:
\(f(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{\phi(w)dw}\)
\(\phi(w)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\cos(w(t-x))dt}\) - интеграл Фурье
Если функция абсолютно интегрируема и удовлетворяет условиям Дирихле, тогда в точка непрерывности представляема в интегралом Фурье.
\(f(x)=\int\limits_{0}^{\infty}{[A(w)\cos(wx)+B(w)\sin(wx)]dw}\)
\(A(w)=\frac{1}{pi}\int\limits_{\infty}^{\infty}{f(t)\cos(wt)dt}\)
\(B(w)=\frac{1}{pi}\int\limits_{\infty}^{\infty}{f(t)\sin(wt)dt}\)
Если чётная - то только по косинуссам
Если нечётная, то только по синусам
\(f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{iwx}dw\int\limits_{\infty}^{\infty}{f(t)e^{-iwt}dt}}\)
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\infty}^{\infty}{F(\alpha)e^{-i\alpha x}d\alpha}\)
\(F(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{i\alpha t}dt}\) - образ Фурье.
Если функция интегрируема на всей числовой оси и удовлетсоряет улосвиях Дирихле на каждом [-l;l], тогда