Фурье

**Фурье**
Наименование	Разложение	Теорема
Триганометрический ряд	\[\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})}\] \[a_0=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)dx}\] \[a_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})dx}\] \[b_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})dx}\]	Если функция \(f(x)\in L_2[-l;l]\) кусочно гладкая, тогда триганометрический ряд сходится в каждой точке отрезка.
Для чётной функции	\[\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n\cos(\frac{n\pi x}{l})}\] \[a_0=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)dx}\] \[a_n=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}{f(x)\cos(\frac{n\pi x}{l})dx}\]	Если функция \(f(x)\in L_2[-l;l]\) кусочно непрерываная на отрезке, тогда ряд Фурье сходится в среднеквадратичном.
Для нечётной функции	\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})}\] \[b_n=\frac{2}{l}\int\limits_{0}^{l}{f(x)\sin(\frac{n\pi x}{l})dx}\]	Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, её ряд Фурье сходится на интервале, где она удовлетворяет этим условиям.
Комплексный ряд Фурье	\[f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{\frac{in\pi x}{l}}}\] \[c_n=\frac{1}{2l}\int\limits_{-l}^{l}{f(x)e^{-\frac{in\pi x}{l}}dx}\]	Если ряд сходится равномерно, то и среднеквадратично тоже
Формула Фурье I	\[f(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}{\phi(w)dw}\] \[\phi(w)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cos(w(t-x))dt}\] \(\phi(w)\)- интеграл Фурье	Если функция абсолютно интегрируема и удовлетворяет условиям Дирихле, тогда в точка непрерывности представляема в интегралом Фурье.
Формула Фурье II	\[f(x)=\int\limits_{0}^{\infty}{[A(w)cos(wx)+B(w)sin(wx)]dw}\] \[A(w)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cos(wt)dt}\] \[B(w)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(t)\sin(wt)dt}\]	Если функция \(f(x) \in L_2[-l;l]\) - кусочно гладкая и непрерывная и \(f(-l)=f(l)\), тогда она сходится равномерно.
Прообраз Фурье	\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{F(\alpha)e^{i\alpha x}d\alpha}\text{ - Прообраз Фурье}\] \[F(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\alpha t}dt}\text{ - Образ Фурье}\]	Если функция интегрируема на всей числовой оси и удовлетсоряет улосвиях Дирихле на каждом интервале (на котором она удовлетворяет этим условиям), тогда существует образ и прообраз Фурье.