Дифференциальные уравнения

С разделяющимися переменными

\[A(x)B(y)dx+C(x)D(y)dy=0\]

Решение

\[\frac{A(x)}{C(x)}dx+\frac{D(y)}{B(y)}dy=0\] \[\int{\frac{A(x)}{C(x)}dx}+\int{\frac{D(y)}{B(y)}dy}=c\]

Просто надо всё с x и y разделить в разные стороны и проинтегрировать

Однородные линейные дифференциальные уравнения(ОЛДУ)

Уравнение, в котором можно явно выделить \(\frac{y}{x}\).

Решение

Тогда заменой \(\frac{y}{x}=t\) \(y'=t+xt'\) приходим к уравнению, которое дальше решается другими методами

Надо чтоб все x и y были в виде \(\frac{y}{x}, а y' - не важны.\)

Линейное дифференциальное уравнение(ЛДУ), уравнение Бернулли

ЛДУ

Уравнение вида \(y'+p(x)y=q(x)\)

Решение

Решается методом Бернулли путём замены \(y=uv\), \(y'=u'v+uv'\). Получаем \(u'v+uv'+p(x)uv=q(x)\) Выносим за скобку u или v и приравниваем скобку к 0:
1) \(v'+p(x)v=0\)
2) \(u'v=q(x)\)

Находим u, v, подставляем - получаем

Уравнение Бернулли

Уравнение вида \(y'+p(x)y=q(x)y^n\)

Решение

Решается тем же методом Бернулли путём замены \(y=uv\), \(y'=u'v+uv'\). Получаем \(u'v+uv'+p(x)uv=q(x)\) Выносим за скобку u или v и приравниваем скобку к 0:
1) \(v'+p(x)v=0\)
2) \(u'v=q(x)(uv)^n\)

Находим u, v, подставляем - получаем

ДУ в полных дифференциалах

Уравнение вида \(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\), если \(\frac{∂P}{dy}=\frac{∂Q}{dx}\)

Решение

Решение - функция u=u(x,y), такая, что \(\frac{∂u}{dx}=P\); \(\frac{∂u}{∂y}=Q\)
Ищем: \(u=\int{P(x,y)dx}+\phi(y)\)
Тогда \(\frac{∂u}{∂y}=Q=\frac{∂}{∂y}(\int{P(x,y)dx})+\phi'(y)\) - находим \(\phi(y)\), получаем функцию
\(u=...+C\)

Самое прикольное и необычное

ДУ в дифференциальной форме

Уравнение вида \(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\), если \(\frac{∂P}{dy}\neq \frac{∂Q}{dx}\)

Решение

Еспользуем интегрирующий множитель \(\mu\). \[\mu(x,y)P(x,y)dx+\mu(x,y)Q(x,y)=0\]. Надо найти такой множитель, чтобы уравнени стало в полных дифференциалах. Алгоритм решения:

• Найти \(\mu_1=\frac{\frac{∂P}{∂y}-\frac{∂Q}{∂x}}{Q}\). Если это выражение зависит только от x, тогда интегрирующий множитель имеет вид: \[\mu=e^{\int{\mu_1 dx}}\]
• Найти \(\mu_2=\frac{\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y}}{P}\). Если это выражение зависит только от y, тогда интегрирующий множитель имеет вид: \[\mu=e^{\int{\mu_2 dy}}\]

Домножаем уравнени на интегрирующий мнодитель и решаем его как уравнение в полных дифференциалах.

Дифуры высших порядков

1. \(y^{(n)}=f(x)\)

   Надо просто много раз проинтегрировать

2. \(f(y'', y', x)=0\)

   Решение

   Замена \(y'=p; y''=p'\)

   Делаем замену сколько надо раз - решаем то что получилось - идём обратно

3. \(f(y'',y',y)=0\)

   Решение

   Замена \(y=p(y)=p; y''=p'(y)*y'=p'(y)*p(y)=p'p\)

   Если порядок дифференцирования выше - просто находим больше производных

В таких случаях обязательно чего-нибудь не хватает, либо x, либо y.

Линейное однородное дифферценаильное уравнение (ЛОДУ)

\(y^{(n)}+ay^{(n-1)}+...+py'+qy=0\)

Решение

Находим все n корней характеристического уравнение \(k^n+ak^{n-1}+...+pk+q=0\)
Для каждого действительного (не кратного) корня \(k_i\) формируем \(C_i e^{k_ix}\)
Для набора кратных корней \(k_1, k_2, ..., k_n\) формируем \(C_1e^{k_1x}+C_2xe^{k_2x}+...+C_n x^n e^{k_nx}\)
Для каждого комплексного корня \(\alpha\pm\beta i\) формируем \(e^{\alpha x}(C_1 cos(\beta x)+C_2 sin(\beta x))\)
Дебильный случай(💀), когда комплексный корень имеет кратность, например оба корня \(\alpha\pm\beta i\) кратные, тогда записываем так: \(e^{\alpha x}((C_1+xC_2)cos(\beta x)+(C_3+C_4 x)sin(\beta x))\) //надеюсь такого дурдома не будет
Ответ получаем как сумму всех этих страшилок.

Линейное неоднородное дифферценаильное уравнение (ЛНДУ)

Для уравнения 2 порядка

\[y''+py'+qy=f(x)\]

Решение:

В общем случае решается, как \(y=y_{оо}+y_{чн}\), где \(y_{оо}\) - всегда находится, как решение ЛОДУ.

1. \(y''+py'+qy=P_n(x)e^{\alpha x}\)
   \(y_{чн} = Q_n(x)x^re^{\alpha x}\)
   Q - находим методом неопределённых коэффициентов.
   r - сколько раз корень \(\alpha\) корень хзаарктеристического уравнения
   
2. \(y''+py'+qy=e^{\alpha x}(P_n(x)cos(\beta x) + Q_m(x) sin(\beta x))\)
   \(y_{чн} = x^r e^{\alpha x} (M_l(x)cos(\beta x) + N_l(x) sin(\beta x))\)
   M, N - находим методом неопределённых коэффициентов.
   r - сколько раз корень \(\alpha+\beta i\) корень характеристического уравнения
   l = max(n, m);
   
3. \(y''+py'+qy=f(x)+g(x)\)
   В таком случае \(y_{чн}=y_{чн1}+y_{чн2}\), где
   \(y_{чн1}\) - чн решение уравнения \(y''+py'+qy=f(x)\)
   \(y_{чн2}\) - чн решение уравнения \(y''+py'+qy=g(x)\)
   

   Для большего числа функций всё аналогично (надеюсь, такого не будет 💀)

4. Метод вариации произвольных постоянных

   \(y''+py'+qy=f(x)\)
   Можно попробовать решить следующим образом
   Для \(y_{оо}=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\) имеем, что \(y_{чн}=C_1(x) y_1(x)+C_2(x) y_2(x)\).
   Для нахождения \(C_i(x)\) решаем систему:
   \[ \begin{cases} C_1'(x)y_1(x)+C_2'(x)y_2(x)=0\\ C_1'(x)y_1'(x)+C_2'(x)y_2'(x)=f(x) \end{cases} \] Решаем методом крамера: \[ \Delta= \left| \begin{matrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{matrix} \right|; \Delta_1= \left| \begin{matrix} 0 & y_2(x) \\ f(x) & y_2'(x) \end{matrix} \right|; \Delta_2= \left| \begin{matrix} y_1(x) & 0 \\ y_1'(x) & f(x) \end{matrix} \right|; \] \(C_1'(x)=\frac{\Delta_1}{\Delta}; C_2'(x)=\frac{\Delta_2}{\Delta}\)

   Находим интегралы и находим \(y_{чн}\)