Формулы обычного интеграла

Наименование	Декартовы коорднаты	Полярные координаты	Парамметрический вид
Площадь криволинейной трапеции	\[S=\int_{x_1}^{x_2}{y(x)dx}\]	\[S=\frac{1}{2}\int_{\phi_1}^{\phi_2}{\rho^2(\phi)d\phi}\]	\[S=\int_{t_1}^{t_2}{y(t)x\\'(t)dt}\]
Объём тела вращения	\[V=\pi\int_{x_1}^{x_2}{y^2(x)dx}\]	\[V=\frac{2}{3}\pi\int_{\phi_1}^{\phi_2}{\rho^3(\phi)sin(\phi)d\phi}\]	\[V=\pi\int_{t_1}^{t_2}{y^2(t)x\\'(t)dt}\]
Длина кривой	\[L=\int_{x_1}^{x_2}{\sqrt{1+y\\'^2(x)}dx}\]	\[L=\int_{\phi_1}^{\phi_2}{\sqrt{\rho^2(\phi)+\rho\\'^2(\phi)}d\phi}\]	\[L=\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{x\\'^2(t)+y\\'^2(t)}dt}\]
Площадь поверхности тела вращения	\[S=2\pi\int_{x_1}^{x_2}{y(x)dL}\]	\[S=2\pi\int_{\phi_1}^{\phi_2}{\rho(\phi)sin(\phi)dL}\]	\[S=2\pi\int_{t_1}^{t_2}{y(t)dL}\]
Масса кривой с плотностью p=p(x)	\[M=\int_{x_1}^{x_2}{p(x)dL}\]	\[M=\int_{\phi_1}^{\phi_2}{p(\phi)dL}\]	\[M=\int_{t_1}^{t_2}{p(x(t))dL}\]

Переходы между системами координат

Система координат	Зависимость	Пределы	Якобиан
Цилиндрическая	\[x=\rho\cos(\phi)\] \[y=\rho\sin(\phi)\] \[z=z\]	\[\rho\in \mathbb{R}_{0}^{+}\] \[\phi\in\text{[}0;2\pi\text{)}\]	\[J=\rho\]
Сферическая	\[x=\rho\cos(\phi)\sin(\theta)\] \[y=\rho\sin(\phi)\sin(\theta)\] \[z=\rho\cos(\theta)\]	\[\rho \in \mathbb{R}_{0}^{+}\] \[\phi \in [0; 2\pi)\] \[\theta \in [0; \pi]\]	\[J=\rho^2\sin(\theta)\]
Эллиптическия	\[x=a\rho\cos(\phi)\] \[y=b\rho\sin(\phi)\] \[z=z\]	\[\rho \in \mathbb{R}_{0}^{+}\] \[\phi \in [0; 2\pi)\]	\[J=ab\rho\]

Формулы кратных интегралов

Площадь	Объём	Масса
\[S=\int_{x_1}^{x_2}{dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}{dy}}\]	\[V=\int_{x_1}^{x_2}{dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}{dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}{dz}}}\]	\[\mu\text{ - плотность в точке M}\] \[S=\int_{x_1}^{x_2}{dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\mu dy}}\] \[V=\int_{x_1}^{x_2}{dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}{dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}{\mu dz}}}\]

Криволинейный интеграл I рода

Интеграл	Задание кривой	Формула
\[\int_{AB}{f(x,y,z)dl}\]	\[x=x(t)\] \[y=y(t)\] \[z=z(t)\] \[\alpha\leqslant t \leqslant \beta\]	\[\int_{\alpha}^{\beta}{f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2+(z'_t)^2}}dt\]
\[\int_{AB}{f(x,y)dl}\]	\[y=y(x)\] \[a\leqslant x \leqslant b\]	\[\int_{a}^{b}{f(x,y(x))\sqrt{1+(y'_x)^2}dx}\]
\[\int_{AB}{f(x,y)dl}\]	\[\rho=\rho(\phi)\] \[\alpha\leqslant \phi \leqslant \beta\]	\[\int_{\alpha}^{\beta}{f(\rho\cos(\phi),\rho\sin(\phi))\sqrt{\rho^2+(\rho'_\phi)^2}}\]

Криволинейный интеграл II рода

Интеграл	Задание кривой	Формула
\[\int_{AB}{P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz}\]	\[x=x(t)\] \[y=y(t)\] \[z=z(t)\] \[\alpha\leqslant t \leqslant \beta\]	\[\int_{\alpha}^{\beta} {[ P(x(t),y(t),z(t))x'_t+ Q(x(t),y(t),z(t))y'_t+ R(x(t),y(t),z(t))z'_t ]dt} \]
\[\int_{AB}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\]	\[y=y(x)\] \[a\leqslant x \leqslant b\]	\[\int_{a}^{b} {[ P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'_x ]dx} \]
\[\int_{AB}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\]	\[\rho=\rho(\phi)\] \[\alpha\leqslant \phi \leqslant \beta\]	\[ \int_{\phi_1}^{\phi_2} {[ P(\rho(\phi)\cos(\phi),\rho(\phi)\sin(\phi))(\rho'_{\phi}(\phi)\cos(\phi)-\rho(\phi)\sin(\phi))+ Q(\rho(\phi)\cos(\phi),\rho(\phi)\sin(\phi))(\rho'_{\phi}(\phi)\sin(\phi)+\rho(\phi)\cos(\phi)) ]}d\phi \]