Число А называется пределом функции \(z=f(x,y)\), при \((x,y)\to M_0\) если для любого малого \(\varepsilon > 0\) найдётся число \(\delta > 0\), такое, что для любой точки M из \(\delta\) окрестности точки \(M_0\) будет \(|f(M)-A|<\varepsilon\)
Предел функции не должен зависеть от пути, по которому к точка \(M\) стремится к \(M_0\).
Частная производная функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда это приращение стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: \(\frac{∂z}{∂x}\), \(\frac{∂z}{∂y}\)
Проще говоря, для переменной x y принимается за константу.
Функция дифференцируема в точке \(M_0\) если её полное приращение можно представить в виде: \(\Delta z=A\Delta z+B\Delta y + \alpha(x, y)\Delta x+\beta(x,y)\Delta y\)
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в точке.
Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в ней конечную производную, верно и обратное.
Функция дифференцируема в точке, если в ней она имеет все частные производные.
Функция дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в некоторой окрестности точки, а в самой точки частные производные непрерывны.
Полный дифференциал функции \(z=f(x,y)\):
\(dz=\frac{∂z}{∂x}dx+\frac{∂z}{∂y}dy\)
Полный дифференциал функции \(z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)\):
\(dz=\frac{∂z}{∂x}\frac{dx}{dt}+\frac{∂z}{∂y}\frac{dy}{dt}\)
Частные производные \(z=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)\):
\(\frac{∂z}{∂u}=\frac{∂z}{∂x}\frac{dx}{du}+\frac{∂z}{∂y}\frac{dy}{du}\)
\(\frac{∂z}{∂v}=\frac{∂z}{∂x}\frac{dx}{dv}+\frac{∂z}{∂y}\frac{dy}{dv}\)
Полный дифференциал:
\(dz=\frac{∂z}{∂u}du+\frac{∂z}{∂v}dv=dz=\frac{∂z}{∂x}dx+\frac{∂z}{∂y}dy
\text{(Свойство инвариантности дифференциала первого порядка) }\)
\(dx=\frac{∂x}{∂u}du+\frac{∂x}{∂v}dv\)
\(dy=\frac{∂y}{∂u}dv+\frac{∂y}{∂v}dv\)
Прямая \(l\) задаётся вектором \((cos(\alpha),cos(\beta))\)
\(\frac{dz}{dl}=\frac{∂z}{∂x}cos(\alpha)+\frac{∂z}{∂y}cos(\beta)\)
\(f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+f_x'(x,y)\Delta x+f_y'\Delta y\)
Максимальная абсолютная погрешность: \(\Delta z=|f_x'|\Delta x+|f_y'|\Delta y\)
\(z_{xx}\\'\\'=\frac{∂^2z}{∂x^2}\)
\(z_{yy}\\'\\'=\frac{∂^2z}{∂y^2}\)
\(z_{xy}\\'\\'=\frac{∂^2z}{∂y∂x}\)
\(z_{yx}\\'\\'=\frac{∂^2z}{∂x∂y}\)
Проще говоря, производная от частной производной.
Производные \(z_{yy}\\'\\'\) и \(z_{yx}\\'\\'\) равны в точке М, когда они определены в точке M и непрерывны в ней.
Если частные производные любого порядка непрерывны в некоторой области, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны в этой области.
\(d^nz=(\frac{∂}{dx}dx+\frac{∂}{∂y}dy)^nz\) - Раскрывается по биному Ньютона.
\(\frac{dy}{dx}=y_x\\'=-\frac{F_x\\'}{F_y\\'}\)
\(\frac{∂z}{∂x}=-\frac{F_x\\'}{F_z\\'}\)
\(\frac{∂z}{∂y}=-\frac{F_y\\'}{F_z\\'}\)
Если функция \(z=f(x,y)\) имеет локальный экстремум в точке \(M_0\) то в это йточке её производные частного порядка равны 0 или хотя бы одна из них не существует.
Обозначения:
\(A=f_{xx}\\'\\'\)
\(B=f_{xy}\\'\\'\)
\(C=f_{yy}\\'\\'\)
\(\Delta = AC-B^2\)
Пусть точка \(M_0\) - стационарная (частные производные равны 0), и в её окрестности частные производные
второго порядка непрерынвы.
Условный экстремум функции \(z=f(x,y)\) с уравнением связа \(\phi(x,y)=0\):
Найти экстремум можно либо выразив из уравнения связи какую-либо переменную и подставить в функцию, либо
методом ножителей Лагранжа:
Составить вспомогательную функцию:
\(F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)\)
Экстремум будет в решении системы:
\(
\begin{cases}
F_{x}'=0, \\
F_{y}'=0, \\
F_{\lambda}'=0;
\end{cases}
\)
\(\lt=\gt\)
\(
\begin{cases}
f_{x}'+\lambda\phi_{x}'=0, \\
f_{y}'+\lambda\phi_{y}'=0, \\
\lambda\phi(x,y)=0;
\end{cases}
\)
Градиент функции f(x,y) в точке M(x,y) - вектор \(\frac{∂z}{∂x},\frac{∂z}{∂y}\) - характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в данной точке. Кроме того, наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.
Плоскость в точке \(M_0\), касающаяся поверхности функции \(z=f(x,y)\) в этой точке - касательная
плоскость.
Для функции \(F(x,y,z)=0\) находится следующим образом:
\(\frac{∂F}{∂x}(x-x_0)+\frac{∂F}{∂y}(y-y_0)+\frac{∂F}{∂z}(z-z_0)=0\)
Прямая нормали \(l\) в графику фунции \(F(x,y,z)=0\) в точке \(M_0\) - прямая, проходящая через данную
точку и перпендикулярная касательной плоскости.
Для функции \(F(x,y,z)=0\) находится следующим образом:
\(\frac{x-x_0}{\frac{∂F}{∂x}}=\frac{y-y_0}{\frac{∂F}{∂y}}=\frac{z-z_0}{\frac{∂F}{∂z}}\)