Инфимум - максимальная нижняя граница двух точек в графе (или решётке). inf{a,b}, a ^ b
Супремум - минимальная верхняя граница двух точек в графе (или решётке). sup{a,b}, a v b
Решётка дистрибутивна, если выполняется a^(b v c)=(a^b)v(a^c) для всех точек a,b,c. Недистрибутивные решётки - если имеют робм с палкой посредине или другую кривую херню M3, P5
Мощность множества - класс всех множеств эквивалентных данному множеству. Для конечных множеств - это число элементов.
Координальные числа - количество элементов бесконечного множества
Если все элементы бесконечного множества можно посчитать - он осчётное
|A|\(\leq2^{|A|}\)
Разбиение - семейство непустых множеств, объединение которых равно исходному множеству, а пересечение пустому
Эквивалентность задаёт разбиение
Факто множества - множество всех классов эквивалентности по отношению разбиения
Максимальный элемент - который не меньше любого другого элемента (например, если с некоторыми нельзя сравнить или если два элемента на одном максимальнм уровне)
Наибольший - элемент, который больше любого другого элемента множества
Диаграмма хассе - изображает отношение в виде графа
Алгю система - набор \(\lt A, \Sigma, P, C\gt\). Если сигнатура - только операции - система - алгебра
Группоид - когда сигнатура состоит из одной функции, арность которой равна 2
Таблица Кэли - матблица всех операций
Морфизмы — это "правильные" отображения между алгебраическими системами, сохраняющие их структуру.
Морцизмы сохраняют операции, отношения и константы
Подсистема порождённая, если она наименьшая подсистема
Подсистема - если мнножество - подмножество, сохраняются функциональные символы, операции и предикаты
Алгебра - многообразие, если существует множество тождеств той же сигнатуры из алгебры. Сигнатура пренадлежит алгебре тогда и только тогда, когда все тождества истинные
Решётка - ЧУМ, в которой каждая пара элементов имеет супремум или инфимум
Конгруэнция — это отношение эквивалентности на алгебраической системе, согласованное с её операциями. Пример, для группы (Z,+), отношение =mod(n) - конгруэнция. Для конгруэнции если применить отношение ко всем a и b (aFb) то это будет равно f(a)Ff(b)
Фактор алгебра - алгебра, носителем которой является фактор множество сигнатуры Σ, с сохранением операций
Если \(\phi:A\to B\) - эпиморфизм, \(\psi: A\to B/Ker(\phi)\) - естественный гомоморфизм, то существует изоморфизм \(\chi:B\to A/Ker(\phi)\), такой, что \(\phi * \chi=\psi\)
Если есть гомоморфизм из одного объекта в другой, то факторобъект (исходный объект, «поделённый» на ядро этого отображения) будет изоморфен образу этого отображения.
Любая конечная булева алгебра изоморфна некоторой алгебре Кантора.
Булево кольцо - набор (R, +, *), коммутативно и a+a=0.
Многообразие — это класс алгебраических систем (групп, колец, решёток и т.д.), который можно задать с помощью тождеств (уравнений, выполняющихся для всех элементов системы).Многообразие всех групп: задаётся тождествами ассоциативности, нейтрального элемента и обратного элемента:
Класс алгебраических систем является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подалгебр, фактор алгебр и декартовых произведений.
Класс вычетов по модулю m — это множество чисел, которые дают одинаковый остаток при делении на m.
Для наюора a1,...,an и для чисел m1,...,mn существует единственное решение систему уравнений x=ai(mog mi), i=0,...,n
Подграф - убрали вершины и только соединённые с ним дуги
Часть графа - убрали вершины соединённые с ними дуги и ещё дуги.
Граф называется гамильтоновым, если в нем имеется простой цикл, содержащий каждую вершину этого графа
Гамильтонов цикл - прохожит через каждую вершину один раз
Эйлеров цикл - проходит через каждое ребро один раз
Разрез - множество всех ребёр соединяющих компоненты связности M1 и M2 графа, где {M1 и M2} - ращбиение множество вершин графа.
Покрывающая цепь - маршрут который проходит по каждоу дуге хотя бы один раз
Сумма степеней всех вершин графа является четным числом и равна удвоенному числу ребер.